Analysis of some exactly solvable diminishing urn models

We study several exactly solvable Pólya-Eggenberger urn models with a diminishing character, namely, balls of a specified color, say x are completely drawn after a finite number of draws. The main quantity of interest here is the number of balls left when balls of color x are completely removed. We consider several diminishing urns studied previously in the literature such as the pills problem, the cannibal urns and the OK Corral problem, and derive exact and limiting distributions. Our approach is based on solving recurrences via generating functions and partial differential equations. RÉSUMÉ. On se propose d’étudier plusieurs modèles d’urnes de Pólya-Eggenberger de nature “diminuante” ayant des solutions exactes, c’est-à-dire, les boules de couleur, disons x, sont toutes prises après un nombre fini de tirées. La quantité principale qui nous interesse est le nombre de boules qui restent dans l’urne au moment où il n’y a plus de boules de couleur x. Nous traitons, en particulier, plusieurs modèles d’urnes diminuantes proposés dans la litterature, comme le problème de pillules, le modèle d’urnes dit “cannibaliste” et le problème d’OK Corral, et obtenons des résultats exactes et asymptotiques. L’approche que nous utilisons est fondée sur le traitement de récurrences par voie de fonctions génératrices et équations aux dérivativés partielles.